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分步计划

比较以下两种期望。一，你期望超过半数的持证美国潜水者有超过 35 小时的潜水经验。二，所有持证美国潜水者的平均潜水时长超过 35 小时。第一眼，两个期望看起来很相似。但是，在第一个例子中，你面对的是比例，你感兴趣的是潜水经验超过 35 小时的潜水者的比例。而第二个例子中，你关心的是均值。你想知道潜水时长的均值。因此，当实施显著性检验时，你需要特别注意你的方法。

这一节中，我将以分布计划的方式来引导你。想象你问了一个容量是 500 个持证潜水者的简单随机样本，他们的潜水时长是多少个小时。假设你发现 0.57 的比例有超过 35 小时的潜水经验，时长均值是 35.5 小时，均值是 8 小时。在我们的样本中，
潜水经验的变量分布近似正态。下面是分布计划全图：

第一步，评估你面对的是比例还是均值，这个我们已经讨论过。第一个例子是比例，第二个例子是均值。

第二步，形式化你的假设。在比例的例子中，零假设是：$ \pi = \pi_0 $ ，在均值的例子中，零假设是 $ \mu = \mu_0 $ 。我们可以有三种类型的备选假设：如果你做双尾检验，是 $ \pi\neq\pi_0 $ 或者 $ \mu\neq\mu_0 $ ；如果你做单尾的右尾检验，是 $ \pi\geq\pi_0 $ 或者 $ \mu\geq\mu_0 $ ；如果你做单尾的左尾检验，是 $ \pi\leq\pi_0 $ ，$ \mu\leq\mu_0 $ 。我们零假设是： $ \pi=0.5,\mu=35 $ ，备选假设是 $ \pi\geq0.5,\mu\geq35 $ 。因此我们需要实施右尾检验。

第三步，检查你的假定是否满足。在两个例子中，随机化都是必要的。你的样本必须通过随机抽样的方法收集，或者说，随机化的实验。在比例的例子中，根据零假设的比例，样本容量乘以比例以及 1 减去样本容量再乘以比例，必须等于或者大于 15 。均值的例子则要求总体分布近似正态。但实践中，这一点只有样本容量很小，且做的是单尾检验时才重要。对于我们的例子，所有的假定都满足。

第四步，确定显著性水平 $ \alpha $ 。常用的显著性水平是 0.05 。我们的检验将基于 $ \alpha=0.05 $ 。

第五步，计算检验统计量。在比例的例子中，公式是 $ z = \frac {p-\pi_0}{se_0} , se_0 = \sqrt {\frac {\pi_0 (1-\pi_0)}{n}} $ ，在均值的例子中，公式是 $ t = \frac {\bar x-\mu_0}{se_0} , se_0 = \frac {s}{n} $ 。注意，在比例的案例中，我们使用 z 分布，而在均值的案例中，我们使用 t 分布。

第六步，抽取相关的抽样分布，展示零假设和检验统计量，补上拒绝域和对应的临界值。在比例的案例中，

第七步，评估你的检验统计量是否落在拒绝域内。

第八步，决定是否拒绝零假设。

第九步，解释你的发现。

在下结论之前，值得提醒的是，不拒绝零值假设并不暗含你就可以接受零值假设。在第二个例子中，我们不拒绝零值假设，即潜水时长等于 35 小时的假设，但并不能得出潜水时长就等于 35 小时的结论。

显著性检验和置信区间

假设你问样本容量为 500 的水肺潜水者他们潜水了多少个小时，均值是 36 小时，标准差是 8 小时，变量的样本分布近似于正态。基于样本信息，你希望推断总体的参数 $ \mu $ ，这是我们所知的推断统计学 —— 基于样本信息得出样本所在总体的结论。

推断统计学有两种方法。其一，通过均值的置信区间来推断区间估计。其二，用显著性检验来推断点估计。在这一节中，我将向你展示这两种方法其实关联密切。

假定你预期潜水时长的均值不是 35 小时，你将做一个显著性检验。我们对均值感兴趣，检验统计量如下：

零假设是： $ \mu = 35 $ ，备选假设是： $ \mu \neq 35 $ 。我们的假定满足，分析基于简单随机样本并且样本足够大，并且样本近似正态分布。检验统计量等于 36 减去 35 ，除以 8 除以 500 的平方根，等于 2.80 。抽样分布看起来是这样的。

我们可以通过查询 t 表找到对应双尾检验显著性水平 0.05 的临界点是 $ \pm1.984 $ 。因此我们的检验统计量落在拒绝域内。我们将拒绝零假设，得出潜水时长不等于 35 小时的结论。

现在，如果我们构造 95% 的置信区间，会发生什么呢？公式如下：样本均值，加减 95% 置信水平对应的 t 分数，乘以标准误差，这个标准误差等于标准差除以样本容量的平方根。相关的 t 分数是 1.984 ，代入公式，得到置信区间是 35.29 到 36.71 。由此我们有信心说，通过无限重复的抽样， 95% 的情况下区间会包含实际的总体均值。这个区间给了我们关于总体均值的一个有说服力的范围。和显著性测试一样，这个置信区间也告诉我们，总体的样本均值不是 35 。通常，双尾显著性检验的结果与置信区间的结果是一致的。