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集合基础 —— 理论概念

在这篇教程中，我将介绍一些重要概念，它们是关于 集合 (set) ，即项的数据集。这对于理解概念以及得出概率的计算规则十分有用。同时，集合的特殊性还在于它不仅可用于概率演算，还用在逻辑学中。

让我们开始吧。如之前的教程中提到的，样本空间是随机现象所有结果的数据集。举个例子，抛一枚硬币两次，有四种可能的结果。事件是样本空间的子集。例如，最后一次抛硬币你得到正面朝上。

我们看到，一个样本空间可以两个或更多结果完全不同的事件。比如，抛硬币两次，0 次正面朝上，1 次正面朝上， 2 次正面朝上。它们被称为 互斥 (disjoint) 的事件。另外一个术语叫 互不相容 (mutually exclusive) 。

有一对特殊的互斥事件，某个事件和它的对立面 (即这个事件不发生的事件)。这种上下文中，对立的事件被称为 补集 (complement) 。比如，这里可以是没有正面朝上和其他三种情况互为补集。

你也可以有多个事件共同填满完整的样本空间。这些事件被称为 完全穷尽 (collectively exhaustive) 事件。如果它们彼此不重叠，就是 相互独立，完全穷尽 (disjoint collectively exhaustive) 。互斥事件相关联的概率之和小于或者等于 1 ，完全穷尽事件的概率之和等于 1 。

直觉上很容易理解这些概念，它们可以通过 文氏图 (Venn diagrams) 来表达。文氏图通过简单的几何形状来呈现集合或者集合的部分。

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样本空间 (sample space)

海滩是一个多变的环境 —— 尤其当天气很好的时候，有许多人，需要可以做的事情和可以看的风景。这一节教程里，海滩是我们的背景。我将向你解释几个可以帮助我们找到概率的概念，以及一个可视化的辅助工具 —— 树形图 (tree diagram) 。

这是一个温暖的下午，你可以来点下午茶。幸运的是，你所在的海滩上，有一个卖下午茶的摊位。不过，茶点几乎快卖完了，只剩下一种类型的冰淇淋和两瓶软饮料。

有点不走运的是，有三个人排在你前面。不过还有个好消息是，摊主只卖给每个顾客一件东西。由于你实在很渴望喝到眼前这冰爽的饮料，你不禁开始寻思，“我喝到饮料的机会有多大呢？”

注意，你并不清楚其他顾客会做出的决定，所以他们的购买对你来说全部都是随机事件。第一个顾客可能买饮料或者冰淇淋，在这件事发生之后，第二个顾客拥有同样的选项，然后轮到第三个顾客。如果前面的两位顾客都买了饮料，那她就只剩冰淇淋可以选，否则的话，她也还有两个选项。

通过下面这幅树形图，你排序了所有可能的随机试验结果。看起来有 7 种可能的组合。这里所有随机现象的里列表我们称为 样本空间 (sample space) 。

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随机性 （randomness）

识别和理解随机性，和推断它是一样重要的技能。它们不仅在统计分析中有用，对于每天发生在我们身边的日常事物，同样有意义。这篇教程中，我将向你解释为什么人们如此不擅长应对随机性。

想象你在海滩上看着海浪翻滚，然后你注意到一枚美丽的贝壳，它的个头和形状明显地异于周围其它贝壳。于是你想想看附近还有有没有这种贝壳。这是一项无法预见的行动计划 —— 贝壳可能是随机分布在这个巨大的海滩上的。因此，你找到另外一枚同类贝壳的时间是不确定的，甚至你都可能找不到一枚相似的。

你开始思考这件事，然后你意识到随机性几乎在日常生活中无处不在。所以，无怪乎我们有丰富的词汇来描述它，比如不确定性、机会、风险、可能性。还有，变异性和不确定性的程度能够非常精细地描述随机性。

看看下面这组词汇：罕有、少见、有时、普通、频繁、经常。有意思的是，某件事是否随机，不仅是现象自身的特性，也很大程度上取决于我们对它的认识。假如你之前就来过这片海滩，你可能已经发现过这种贝壳，从而改变这一次的搜索策略，以便增加找到更多这种贝壳的机会。你搜索的尺度也有关系，如果在很小的区域做一个短暂的搜索，可能不是很有把握找到新贝壳，但是搜索时间延长，搜索区域扩大，找到机会就会增大。

尽管有这么多的词汇，以及我们在日常经验中熟记随机性的能力，我们其实一点都不擅长量化地评估随机性。一方面，我们在真实的随机数据中寻找各种 “模式”。你一定听过一个词叫 “宿命”。另一方面，我们自身又无法制造随机熟记。有一个失败尝试的案例 —— 下图中左边的通过拼接得到的贝壳随机分布的地图，实际上是分布太规则的。而右边那幅是现实的随机分布模式，看起来有更多聚集在一起的 “簇”。

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回归 —— 找到 “那根线”！

最近的一项研究表明，吃大量的巧克力可能是个好主意。

这个散点图展示了一个国家每个人年均消费的巧克力数量。可以看出，一年中人们吃的巧克力数量，跟这个国家每百万人口中的诺贝尔奖获得者人数，呈正相关性。

注意，这个散点图里的巧克力消耗量显示为自变量，而诺贝尔奖获得者人数显示为因变量。

散点图里分析的单位是国家。如你所见，相关性很高。实际上，这里的皮尔逊相关系数是 0.93 。这说明，多吃巧克力虽然可能令你发胖，但同时也让你变聪明。皮尔逊相关系数告诉我们，两个连续变量之间的线性相关性有多强，这种线性相关性被显示为一根直线。在我们的案例中，是这条线。

这就是我们所说的 回归线 (regression line) 。在本节教程中，我将告诉你如何找到回归线。重要的是要知道我们如何找到这条线，而不仅仅是因为回归线向你展示了两个变量之间的关系。 找到回归线是许多统计分析的基础。

那么，我们如何找到回归线呢？想象你正在绘制散点图里每一条可能的直线。所以，你像下面这样画了许多可能的线。这是一组数量巨大的线。实际上，这几乎不可能做到。不过，暂时想象你有超能力 —— 你能做到这一点。

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很多人喜欢吃巧克力，但多数人吃巧克力是比较谨慎的。因为吃了太多巧克力，很有可能会增加体重。在这一期的教程中，我将讨论如何使用表格和图表展示 两个变量之间的关系 。这有助于发现两个变量之间是否存在 相关性 (correlation) 。

列联表 (Contingency Tables)

我们来进一步研究吃巧克力和体重之间的关系。

假设我在我们学校选择了 200 名女学生。她们身高都是一米七。这样，身高就是一个常数，不会影响体重或吃巧克力。让学生报告体重及每周巧克力消费情况。体重可以选择这样几个类别：小于 50 公斤； 50 至 69 公斤； 70 至 89 公斤和 90 公斤或以上。巧克力消费量可以选择这样几个类别：每周少于 50 克；每周 50 至 150 克；每周超过 150 克。

结果如下，这里看到的是 列联表 。 列联表 能够显示 两个定序或定类变量之间的关系 。 它类似于频率表，但主要区别在于 频率表始终只考虑一个变量，而列联表考虑两个变量 。